РЕШУ ЦТ — математика ЦЭ

Задания

Задание № 330 Добавить в вариант

Сложность: IV

Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BE и CD. Найдите длину CB, если $ED = 12$ и радиус окружности, описанной вокруг AED равен 10.

Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Треугольники ADE и ACB подобны с коэффициентом подобия $k=| косинус \angle BAC|.$ Из соотношения

$дробь: числитель: ED, знаменатель: синус \angle BAC конец дроби =2R,$

найдем синус нужного нам угла. Получим:

$синус \angle BAC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$

Найдем $| косинус \angle BAC|$ из основного тригонометрического тождества.

$| косинус \angle BAC|= корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате \angle BAC конец аргумента = корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$ $| косинус \angle BAC|= корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате \angle BAC конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$ $| косинус \angle BAC|=$
$= корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате \angle BAC конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$

Из подобия треугольников:

$дробь: числитель: DE, знаменатель: BC конец дроби =| косинус \angle BAC| равносильно CB= дробь: числитель: 12, знаменатель: дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби конец дроби равносильно CB=15.$ $дробь: числитель: DE, знаменатель: BC конец дроби =| косинус \angle BAC| равносильно$
$равносильно CB= дробь: числитель: 12, знаменатель: дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби конец дроби равносильно CB=15.$

Ответ: 15.

Ответ: 15

330

Сложность: IV

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	330	15